等候理論(4)
等候模型與顧客排隊方式有很密切關係。過去我們常看到多條排隊、多櫃台的服務模式，現在已經改為一條排隊、多櫃台的服務。並且使用抽號機來排隊，顧客進入現場，先抽一張號碼牌，進入排隊等候流程，任何一個櫃台只要完成服務，下一位就被唱號，接替服務。
學術上用MMs代表等候模型，第一個M代表客人（到達），第二個M代表服務（Service），s代表服務台數（number of server）。s=1，MM1: S=2，MM2，………，依此類推。圖23與圖24都有五位服務櫃台，但排隊方式不同。圖23讓每個服務櫃台擁有各自的排隊隊伍，圖24只有一條排隊隊伍，任何櫃台只要完成服務，就輪到下一位等候的顧客。
圖23
圖24
圖23與圖24雖然服務櫃台數相同，等候模型卻不同，圖23是五條MM1模型，圖24是一條MM5模型。前面三篇等候理論都探討MM1（單一服務櫃檯），本篇要進入探討多服務櫃檯的等候理論。
表15是表13（單純MM1模型）的擴增，MM1與MMs兩模型各項等候數值並呈，可以想像為，它們代表圖23與圖24兩種不同的排隊設計，服務櫃台數相同，MM1取圖23其中一個櫃台的排隊與服務進行觀察，MMs是圖24整體排隊與服務進行觀察。
表15
在MMs模型的E7打入服務人員數值（或櫃檯數）5，即成為MM5。表15MM5到達率與服務率相同於MM1，MM5的到達率是2.5，MM1是0.5，將5個櫃台的排隊併在一起算，也是2.5(=0.5*5=2.5)。相同到達率與服務率下，MM5的到達的時間間隔、每次服務時間、忙碌強度也和MM1一樣，再下來的數值就完全不同了。很明顯的，MM5的等候人數與等候時間都少於MM1的數值，說明MM5的排隊設計確實帶來更好的顧客服務水準。
這些不同的數值是怎麼計算的??MM1與MMs為何會算出這些不同的時間、人數等候值??MMs的服務效率優於MM1確是真的嗎??
搞通上述問題，就算搞通等候理論，你就可以很有自信地使用表15，任何排隊等候問題，立即能夠精算顧客排隊時間成本與服務效率，進行流程改造。
圖25
MMs各項等候值的計算不脫我上課使用的這張投影片，它們都詳述於「等候理論(2)」。唯一最難計算的是表15的E21（灰色格），缺少E21（現場沒有客人的機率），E16以下的數值都無法計算，但E21的計算又特別複雜、繁瑣，本文只作簡單交代，不作深入解說，我用另一張試算表計算出來，放置於E21。由於這一運算限制，我特別提醒，在你自己建置的表15，MMs的（1）到達率、（2）服務率、（3）服務台數的數值，若作任何更動，只要E21的數值沒有重新計算過，MMs出現的新數值都是錯的。
除了E21、E22格以外，熟悉MM1，用它推導MMs，把MM1建立的概念直接轉移到MMs，善用表15兩個模型並列，互相參照，你能很快掌握這種一條排隊、多櫃台的服務模式。以下再複習一下MM1建置的要領與邏輯。
MM1將九個專有名詞（1）到達率、（2）服務率、（3）到達的時間間隔、（4）每次服務時間、（5）忙碌強度、（6）全程人數、（7）全程時間、（8）等候時間、（9）等候人數，放在B欄表格，上下依序緊鄰排列，讓人一目了然，能夠直接作視覺換算，像瀑布一樣，由上而下，用上格數據推導下格，MM1第16列B16（全程人數）以下，都是上一格數值推導下一格。全程人數根據B12忙碌強度推算，公式=忙碌強度/(1-忙碌強度) =忙碌強度/不忙碌比率。
MMs也根據這一邏輯設計排列，但第16列E16以下，全程人數->全程時間->等候時間->等候人數的排列和MM1不一樣，上下次序作了調整，MMs的次序是：等候人數->等候時間->全程時間->全程人數。MMs作上述調整，目的在讓同一列的兩個數值使用很類似的公式，例如：
MM1的全程人數=忙碌強度/不忙碌比率，MMs的等候人數=(忙碌強度/不忙碌比率)*現場服務人員都在忙碌的機率，兩者差別在於MMs的等候人數多乘上E22現場服務人員都在忙碌的機率。表15上B16與E16都有從B12與E12標示的箭頭，但E16多了來自E22的箭頭，E22=現場服務人員都在忙碌的機率，標註E16的公式必須再加入E22。
MMs有兩個非常重要的機率：（1）E21現場沒有客人的機率、（2）E22現場服務人員都在忙碌的機率。MM1也有這兩個機率值，但計算上卻非常簡單，它們分別是B21不忙碌比率=/(1-忙碌強度)，與B22忙碌強度。
MMs這兩個機率值（E21與E22），計算上非常複雜，E21（現場沒有客人的機率）是透過另外寫Excel巨集指令計算的（沒有show出來）。E22（現場服務人員都在忙碌的機率）=(E7*E12)^E7*E21/(FACT(E7)*(1-E12))，公式是由三個數值構成：E7：服務人員人數，E12：MMs忙碌強度，E21：現場沒有客人的機率。注意，E22包含上一格（E21）的機率值。有了這一數值，才可以求算MMs的等候人數（E16）=E12/(1-E12)*E22。
有了E16數值，接下來的等候時間->全程時間->全程人數，都是用圖25的公式算出來的，計算方法在等候理論(2)解說過了。
表15的MM5顯然是不需要讓顧客等候太久的設計。如果顧客到達率、服務率都不變，減縮一個櫃台的服務（s=4)，會對顧客的等候造成什麼影響???Excel重新計算MM4，各項等候數值列於表16。
表16
排隊等候人數從表15的1.385（約1.4人）大增為12.975（約13人），現場隨時都有顧客在排隊，E21現場沒有客人的機率不到1%（=0.66%），E22現場服務人員都在忙碌的機率=86.5%，不過，等候時間只有5.19分鐘，比MM1的等候時間只多了0.7分鐘，應該是顧客可以忍受的。顯然，減少一個櫃台服務，公司可以節約人力成本，但不會帶來顧客排隊的不滿，是可以考慮的方案。
如果再減縮一個櫃台，只剩3個櫃檯的服務MM3，各項等候數值又是如何呢??
它將是如同1124選舉排隊的災難，此時B12忙碌強度=1.25，數值大於1，Excel已經無法計算E16以下的各項數值。等候理論的忙碌強度大於1，表示系統超載，人員必須加班。否則就是嚇跑顧客，他們不敢來排隊，轉移到別家去光顧。
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