洪明洲教授部落格

存貨模型（1）

接近學期尾聲，快要結束作業管理講授。本系列文章也快要結束，它宣告我將完成作業管理難度頗高的講授課題：存貨理論，我所建置的Excel存貨模型，也將公諸於世，它可能是最為突破、最讓我驚艷、也最能幫忙學生學好作業管理的一個Excel模型。

存貨管理是多數企業必須嚴管的領域，它關係企業成本與獲利，涉及顧客滿足與企業形象。日本豐田式管理視它為企業資源浪費頭號戰犯，主張必須徹底拔除，達到零存貨目的。

存貨管理更是商學院重要講授議題，它分散在許多課程（例如會計學、成本會計、…），但最核心、最難理解與操作的內容，都收錄在作業管理的存貨理論。

從理論來看，存貨管理是一套數學推演，若不借助數學，學生幾乎無法認識或演算各項存貨變數，更遑論學習更進階的理論模型。很不幸的，存貨理論各項變數的定義與相互關係，都不是加減乘除運算後的直觀數值，而是要經過諸多平方、開根號、甚至取對數的運算值，對數學不好的學生簡直「無字天書」。

本系列文章將數學公式演算與Excel表格作一些參照，把數學模型映置到Excel，然後擺脫數學符號，利用試算表的位址關係，直接進入存貨的數字世界。這項突破能讓人不必倚賴數學，直接用試算表演算，就對存貨理論有完全理解。

由於有等候 (Queuing) 理論建置Excel模型的經驗，備課時就想用一張試算表格將所有存貨理論的數值「一網打盡」，基本的經濟訂貨量（EOQ）模型很容易從公式推算，因而建置一個很像表16的存貨模型：

表17

表17用黃色區塊的3個數值：市場需求、訂購成本、倉儲成本計算EOQ(B7)：然後，市場需求除以EOQ得出每年訂購次數（B9），一年365天除以每年訂購次數，得出存貨訂單週期（B10），下面各項成本數據（B12-B17）都根據定義公式（請參考圖26）算出。但表17只是存貨模型的起步，真正的Excel存貨模型才要從這裡進入，「將理論數值一網打盡」的模型建置困難，也開始了。

等候理論只要抓好時間、人數、速率……，利用Little’s Formula（上一篇圖25），所有等候數值（諸如：等候人數、時間、機率…）很容易代換推導，進而列在表16上「一網打盡」。但存貨理論卻不是這回事。

圖26列示存貨理論的數學模型，它截圖自Hillier &   Lieberman(2005)。經濟訂貨量（EOQ）是從總成本方程式微分而來，結果如圖26加紅框的公式：2倍需求量乘以訂貨成本，再除以倉儲成本，再開方（B7），這一運算的抽象程度遠超過Little’s Formula。

如果不執著在數學公式，直接將公式映置在B7方格，然後記住，B7方格的數值來自B3、B4、B5三個數值（黃色區塊）的運算。作了這一映置（Mapping）後，只關注試算表的運算關係，藉它掌控存貨模型所有變數關係，用不同數據輸入黃色區塊各方格，體會其他存貨決策變數值的變化，進而搞通存貨決策數值的各種影響與結果。

圖26

表17-1

表17-1上總訂購成本（B12）=總倉儲成本（B13）=$5000，它所對應的EOQ數值（B7）就是存貨管理成本最低的訂購量，數學方程式列示在圖27。所以，圖26-27、表17方格都表達相同的存貨變數，公式、圖形、Excel數值三者彼此輝映，深化對存貨理論的瞭解。

圖27

接下來，我會在表17的基礎模型加入新變數（例如缺貨成本），靠著Excel的表格排列與運算能力，將各種存貨模式建置在Excel表上。介紹這些模型之前，先交代我研究存貨理論的3項重要心得：

1. 教科書上對存貨模型的數學演算，不盡相同，很多相同變數，使用不同代數推算，很容易把人搞得一頭霧水，我建置的Excel方格內的公式全部一致化，而且上下方格值儘量呈現公式推導過程，例如，B10的值由B9推算出來，看到表格立即知道每年訂購次數（B9）與存貨訂單週期（B10）兩者的關係。

2.   有關EOQ模型的時間週期選擇，多數教科書都以年為時間週期，史丹福大學教授Frederick S. Hillier與 Grald J. Lieberman的Introduction to Operations Research偏好使用月為週期。兩種時間週期推導出來的模型數據，並不相同，卻很少學者注意兩類模型的差異。本篇文章的Excel用年資料，下一篇我將改採Hillier &   Lieberman(2005)的作法，使用月週期，我會在下篇說明原因。

3. 圖26EOQ數學模型所推算的訂貨量是以「保平安」為出發點，實用價值很低。實用的存貨模型必須更關切存貨風險、訂貨時點、安全庫存、訂貨週期……，換言之，「訂貨量」已經不再是存貨理論的最終解，它反而是「跳板」，用以推算與存貨相關的其他變數數值。

（一）考量短缺的存貨模型

EOQ模型加入存貨短缺考量，讓存貨理論跨出一大步。新模型建議增加訂購量，卻又不增加庫存，甚至大幅減少庫存量，讓存貨水準低到可能會發生短缺。由於增加訂購量，所以減少訂貨次數，節約總訂購成本。它把大量訂購量的庫存轉嫁給供應商，當期只運送很少的庫存量放在自己的倉庫，大幅度節約總倉儲成本，至於尚未交貨的訂貨量則轉為「延期交貨訂單量」。萬一缺貨，「延期交貨訂單量」補給不及，就會蒙受存貨短缺成本。

上述「短缺考量的訂購量」的數學方程式結構一如圖26，圖27是Hillier &   Lieberman(2005)的數學模型截圖。從該圖數學模型抓出「短缺考量的訂購量」最關鍵的公式：「倉儲成本加短缺成本，再除以短缺成本」的數值，我將它命名短缺係數，將它開根號，與EOQ數值相乘，就得到短缺考量的訂購量（E11、圖27的Q*）。再將這一數值除以短缺係數，得出最高庫存量（E12、圖27的S*），「短缺考量的訂購量」減去「最高庫存量」得到延期交貨訂單量（E13、圖27的Q*-S*）。

表18

容我再強調： Excel模型的表格上下排列次序呈現公式推導過程，讓我們從試算表上下位格去追蹤存貨模型變數彼此的關連。表18短缺考量的訂購量（土黃色位格E11）從它的上位格推導出來，亦即EOQ（E8）與短缺係數開根號（E10）相乘而得，其餘位格請類推。

圖27

表18將簡易模型與短缺考量模型並列，以利比對。兩者黃色區塊的數值相同，短缺考量模型多了一個短缺成本。若不考慮短缺成本，EOQ值當然相同，其餘數值完全不同，在短缺考量模型的欄位多出一個短缺係數，把EOQ值透過運算，再變出三個決策值：（1）短缺考量的訂購量、（2）最高庫存量、（3）延期交貨訂單量。

短缺考量模型推算的經濟訂貨量大約是EOQ的1.5倍，它沒有造成很高的安全存貨量，因為它再分為兩部份：（1）約1/3的最高庫存量（E12），（2）約2/3的延期交貨訂單量（E13）。短缺考量的訂購量只有EOQ的一半，顯然存貨量並不安全，會有存貨短缺風險，但能省下倉儲成本。

實務作業上，當最高庫存量水位降到不安全時，應該趕快用延期交貨訂單量補充，實際的存貨短缺成本未必真正發生，表18所列的存貨短缺成本，應該指供應商緊急補貨不及下的最差存貨情境。從表18看出，雖然存貨短缺成本是理論值（未必真正發生），短缺考量模型的總存貨成本只有$5695，約只有簡易模型下的一半。若真不發生存貨短缺，存貨成本還會更低，教科書卻都不交代這項實務做法。

短缺考量模型的總訂貨、倉儲、短缺存貨成本列示於E18-E20，它們內建的計算公式都取自圖27的數學模型，我再特別截取，將它們列示如下：

圖28