等候理論(2) @ 洪明洲教授部落格

等候理論(2)

Excel等候模型是為來台留學30位外籍生講課而設計的教材。由於用英文思考備課，讓我更容易從原文教材領會模型意義，陽錯陰差，1124選舉排隊投票，提供不會使用等候理論造成災難的案例，加速這個Excel模型更精簡地設計出來。

等候理論的主要概念不外時間、人數、服務（量），但因敘述單位與情境的不同，同一概念的名詞會有很多衍生，初學者很容易混淆。為此，我使用最平易的（英文）名詞，本文再將這些名詞中文化，所以，我講授的名詞可能會脫離一般人使用的習慣。為了便於比對，我把英文PPT列示出來。我的授課PPT非常精簡，只有4張，列示如下：

本文介紹的等候理論就從第4張PPT開始，它也是上一篇文章的表13。

表13

以下我要展示所有等候理論的數值，都是從表13黃色區塊兩個輸入數據：（1）到達率、（2）服務率推算出來的。

先看表13第10-11列的兩個數值：到達的時間間隔與每次服務時間，它們個別是（1）到達率與（2）服務率的倒數。第12列的忙碌強度是(1)/(2)：到達率除以服務率。

由於我不使用艱深數學解說，不用圖17的公式，文章也不會有數學拉丁符號，但將Excel方格內建的運算公式逐一解說，讀者最好準備NB，仿表13輸入同樣數據或公式，進行演算，這樣你才會知道，我在說什麼。表13的除黃色區塊的兩個數值是直接輸入的，其他都是內建公式算的，而運算公式大多是第3張PPT的加減乘除而已。

假設你用自己的電腦完成到達的時間間隔、每次服務時間、忙碌強度三個數值的運算，我再來解釋，這5個等候理論名詞：（1）到達率、（2）服務率、（3）到達的時間間隔、（4）每次服務時間、（5）忙碌強度。以下暫時以銀行臨櫃服務的排隊為例。

（1）到達率：每分鐘客人進入銀行的人數，此例為0.5人，一個非常抽象(每分鐘來半個人)的數據，如果改成每小時來店30人，就懂了。不管你用小時或分、秒....來表達，它們都是一樣概念。

（2）服務率：行員每分鐘服務客人的人數，此例為0.667或2/3人，若換算成每小時的服務人數，也許你就更懂了。

等候模型中每一數值都有單位，它們會涉及運算，所以時間必須化成同樣單位。表13將所有時間單位都調成「分」，目的是為了運算。用時間為單位（分母）的衡量，我們都稱為速度。

（3）到達的時間間隔：到達率（0.5）的倒數=2，每2分鐘來一個客人。

（4）每次服務時間：服務率（2/3）的倒數=3/2=1.5，每1.5分鐘服務一個客人。

（5）忙碌強度（Traffic intensity）：到達率除以服務率（0.5）/（2/3）=0.75，可以想像，客人每兩分鐘才來一位，當一位行員完成一位客人的服務（1.5分鐘）後，它還有0.5分鐘休息時間，等待下一位客人到來，0.5分鐘/2分鐘(每2分鐘來一個客人)=0.25，這是(=1-0.75)，可以稱為不忙碌比率。

從上述數據各位看得出來，（3）（4）數值是以一個客人為單位的時間數（一個客人多少時間到達或服務），它與一分鐘為單位的人數（一分種有多少客人到達或服務），互為倒數。

認識上述5個數值後，我們開始要推導表13第15列以下的四個數值，它們是：（6）全程人數、（7）全程時間、（8）等候時間、（9）等候人數。所謂全程，乃是一位客人進入銀行到離去為止，全程=等候+服務。

表（10）13第15-19列四個數值的排列次序很重要，先是全程，再來等候。全程先算人數，後算時間；等候先算時間，再算人數，請務必記住這一原則。為何要如此排列??這是我精心設計的，等一下你就知道，上一個數值會用來計算下一數值，這樣的排列讓Excel的計算更為簡潔、易記。這四組數據，全程人數最難懂，只要搞定它，其餘三個數據只要抓住人數=速度*時間這一公式，所有數值都能推算出來。

（6）全程人數：這是一位客人進入銀行，直到出來為止，這段時間內在銀行裡面的全部客人數，包括正在等待的人數與正在接受服務的人數，它的計算公式=忙碌強度/不忙碌比率，=忙碌強度/(1-忙碌強度)。

（7）全程時間：套入人數=速度*時間公式，此處：速度=到達率，所以，全程時間=全程人數/到達率。

（8）等候時間：全程時間 - 服務時間 = 等候時間。

（9）等候人數：套入人數=速度*時間公式，等候人數 = 到達率*等候時間。

我們會對人數、時間數值有直接的理解，對比率數值（到達率、服務率、忙碌強度）感到抽象，其實從等候的人數、時間數值也可以反推到達率、服務率、忙碌強度.......。等候理論的人數、時間數值是綁在一起的，彼此可以互相換算。各位是否回到表13將第15-19列的四個數值，用下列公式互相換算一遍：

（一）加減公式

全程時間=等候時間 + 服務時間

全程人數=等候人數 + 服務人數

（二）乘除公式：或者人數=速度*時間公式

全程人數= 到達率*全程時間

等候人數= 到達率*等候時間

服務人數=服務率*服務時間

各位是否從上面的互相換算找到等候理論的運算規律???請細細體會。它們也是英文PPT第三張的全部計算公式。

實務上，我們比較容易取得（等待）人數、時間數值，我們反而是從人數、時間數值去反推表13已知的到達率、服務率數值。如何反推呢???

一個最簡便方法---使用Solver。假設你是手搖冰店長，看到外面經常有5個客人在等候（此處「經常」是數學的平均數意義），你可以從表13的試算表反推客人的到達率，如下圖。目標式放等候人數(B19)，目標數值打入5，然後把到達率(B5)當作變更變數，忙碌強度（B12）不能超載或大於1，求解方法選擇GRG非線性。

圖18

跑完Solver，產生表14的答案。客人到達率提高到0.569，忙碌強度提高到0.859，等候時間提高到8.781人，模型上的數值都回應了「經常有5個客人在等候」的數值變化，這位店長應該考慮：讓客人為了一杯手搖冰而等待8.78分鐘的後果---客人跑了........